Plan de l'oral — Nombres transcendants

Introduction

Présenter les trois grands problèmes classiques de la géométrie grecque (quadrature du cercle, duplication du cube, trisection de l'angle) réalisables « à la règle non graduée et au compas ».

Annoncer la problématique : comment les nombres transcendants ont-ils permis de résoudre, par l'impossibilité, le problème millénaire de la quadrature du cercle ?

I. Origine et premières tentatives

Poser le problème géométrique : aire du cercle πr², donc carré de côté √π · r — tout se ramène à la constructibilité de √π.

Mentionner l'approximation égyptienne (papyrus Rhind, π ≈ 3,16) et, si le temps le permet, l'anecdote du projet de loi de l'Indiana (1897).

II. Outils modernes

Définir nombre algébrique / nombre transcendant, rappeler que irrationnel ≠ transcendant (exemple √2).

Énoncer le théorème de Lindemann (1882) : si α est algébrique non nul, alors e^α est transcendant.

Introduire les nombres constructibles et le théorème de Wantzel (1837) : un nombre constructible a un polynôme minimal de degré une puissance de 2.

III. Transcendance de π

Dérouler la preuve par l'absurde : si π était algébrique, iπ le serait aussi, donc e^iπ serait transcendant (Lindemann) — mais e^iπ = −1 (Euler), qui est algébrique. Contradiction.

Conclure : π est transcendant → √π n'est pas constructible → la quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas.

Conclusion et ouverture

Rappeler la chaîne logique complète en une phrase et souligner que la solution est arrivée 45 ans après Wantzel, grâce à l'algèbre du XIX^e siècle.

Ouvrir sur l'idée que prouver l'impossibilité est, en mathématiques, une forme de résolution à part entière.