📋 Plan détaillé — Grand Oral Maths

20 min de préparation · 10 min d'exposé · 10 min d'échange 🎤 Retour au site

⏱ 10 min Structure

Timing indicatif

0h00 – 0h02	Introduction — trois problèmes classiques et formulation de la quadrature
0h02 – 0h04	Partie I — √π, papyrus Rhind et différence entre exactitude et approximation
0h04 – 0h07	Partie II — Nombres algébriques, transcendants, constructibles et Wantzel
0h07 – 0h09	Partie III — Théorème de Lindemann et preuve par l'absurde
0h09 – 0h10	Conséquence pour √π et conclusion

2 min 1. Introduction

Accroche : « Depuis l'Antiquité, trois problèmes classiques résistent aux constructions à la règle et au compas : quadrature du cercle, duplication du cube et trisection de l'angle. »
La duplication du cube est le problème de Délos ; Anaxagore est le premier Grec connu à avoir étudié la quadrature.
Problématique : Comment les nombres transcendants ont-ils permis de résoudre, par l'impossibilité, un problème millénaire ?
Plan :
- I — Origine et tentatives
- II — Outils modernes (algébriques, transcendants, constructibles)
- III — Transcendance de π → impossibilité

2 min 2. Partie I — Origine et premières tentatives

Cercle de rayon r : aire = πr² → carré de côté √π·r
Règle du jeu : règle non graduée + compas uniquement
Papyrus égyptien Rhind : aire ≈ (8d/9)² → π ≈ 256/81 ≈ 3,16
Une bonne approximation ne répond pas à la question d'une construction exacte
Anecdote : projet de loi de l'Indiana (1897), dont les formules impliquaient notamment π = 3,2

3 min 3. Partie II — Outils modernes

Définitions

Algébrique

Racine d'un polynôme à coeff entiers
Ex : √2 (x² − 2)
Forment un corps

Transcendant

N'est racine d'aucun polynôme
Ex : π, e
+ nombreux que les algébriques (dénombrabilité)

Distinction à connaître

Irrationnel ≠ transcendant
√2 est irrationnel mais algébrique car √2 vérifie x² − 2 = 0
L'irrationalité de π ne suffit pas : la quadrature exige sa transcendance

Théorème de Lindemann (1882)

À citer absolument

Si α algébrique non nul → e^α est transcendant
Ex : α = 1 → e transcendant
Aujourd'hui présenté comme un cas du théorème de Lindemann–Weierstrass

Théorème de Wantzel (1837)

Nombre constructible = longueur obtenue depuis l'unité par règle + compas
Condition nécessaire : si constructible → degré du polynôme minimal sur ℚ égal à 2ⁿ
La condition « degré puissance de 2 » n'est pas suffisante à elle seule
Ex : ∛2 ✗ car son polynôme minimal x³ − 2 est de degré 3

Lien clé

Transcendant → pas racine d'un polynôme → pas constructible

3 min 4. Partie III — Transcendance de π

Preuve par l'absurde

1 On suppose π algébrique

2 Alors i·π est algébrique (corps des algébriques)

3 Lindemann → e^iπ serait transcendant

4 Or e^iπ = −1 (Euler) → algébrique → contradiction

✦ Conclusion : π est transcendant

Si √π était constructible, alors son carré π le serait également
π transcendant → π non constructible → √π non constructible → quadrature impossible
Résultat : 1882 (Lindemann), 45 ans après Wantzel

— Annexes techniques (pour les questions)

Polynôme à coeff entiers ↔ rationnels

Multiplier par ppcm des dénominateurs → même racines

Pourquoi i·π algébrique si π l'est ?

i est algébrique (x² + 1)
Les algébriques forment un corps
Produit d'algébriques = algébrique

Dénombrabilité des algébriques

Polynômes à coeff entiers : dénombrables
Chaque polynôme a un nb fini de racines
Réunion dénombrable d'ensembles finis = dénombrable

Méthodes d'approximation de π

ζ(2) = π²/6 (série de Riemann)
Monte-Carlo (tirages aléatoires carré/disque)

Pourquoi la condition de Wantzel n'est-elle pas suffisante ?

Le degré doit être une puissance de 2, mais cela ne garantit pas une tour d'extensions quadratiques
L'énoncé complet porte sur l'appartenance à une suite d'extensions de degré 2

Densité vs cardinalité

Algébriques : denses dans ℝ MAIS dénombrables
Transcendants : denses ET non dénombrables
Distinction clé entre densité et cardinalité

🧮 Schémas à préparer sur le support

Cercle de rayon r → carré de côté √π·r
Chaîne logique : √π constructible → π constructible → π algébrique, mais Lindemann → contradiction
Preuve par l'absurde : les 4 étapes avec flèches
Le support peut être montré au jury, mais pas remis ; le tableau est utilisable pendant l'échange

🎯 Questions probables du jury

« Pourquoi la condition de Wantzel (degré = puissance de 2) est-elle nécessaire et pas suffisante ? »
« Quel est le lien exact entre nombres constructibles et extensions de corps ? »
« Pourquoi i·π est-il algébrique si π l'est ? »
« En quoi la formule d'Euler (e^iπ = −1) intervient-elle dans la preuve ? »
« Quelle différence entre "non constructible" et "impossible à tracer" ? »
« Que signifie "presque tous les nombres sont transcendants" plus précisément ? »
« Connaissez-vous d'autres nombres transcendants que π et e ? »
« Quelle différence faites-vous entre une approximation et une construction exacte ? »

⚡ Memento — Les phrases à placer

« Un nombre algébrique est racine d'un polynôme à coefficients entiers. »
« Un nombre transcendant échappe à toute équation polynomiale. »
« Lindemann : si α est algébrique non nul, alors e^α est transcendant. »
« Wantzel : le polynôme minimal d'un nombre constructible a un degré qui est une puissance de 2. »
« Si √π était constructible, π le serait aussi ; or π est transcendant. »