La quadrature du cercle : de l'Antiquité grecque à la preuve de Lindemann (1882) — Grand Oral Maths
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens se heurtent à des problèmes restés longtemps sans solution. Trois d'entre eux sont devenus les grands problèmes classiques de la géométrie grecque :
La duplication du cube est aussi appelée problème de Délos. Anaxagore est, quant à lui, le premier Grec connu à avoir étudié la quadrature du cercle. Dans leur formulation classique, ces constructions doivent être réalisées uniquement à la règle non graduée et au compas.
Prenons un cercle de rayon r. Son aire est πr². Pour construire un carré de même aire, il faudrait un carré de côté √π · r. La question se ramène donc à : peut-on construire √π à la règle et au compas ?
Faites glisser le curseur pour simuler le déroulement géométrique de la circonférence et la transition vers un carré de surface équivalente. Sélectionnez différentes valeurs de $\pi$ pour observer l'écart géométrique.
Bien avant la preuve d'impossibilité, les civilisations anciennes savaient approcher l'aire du cercle. Le papyrus égyptien Rhind propose de remplacer le diamètre par ses huit neuvièmes puis d'élever cette longueur au carré. Cette méthode correspond à π ≈ (16/9)² = 256/81 ≈ 3,16, soit une erreur inférieure à 1 %.
Pour comprendre pourquoi la quadrature est impossible, il faut des outils mathématiques bien plus récents que ceux des Grecs.
Un nombre irrationnel n'est pas un quotient d'entiers, mais il peut rester algébrique : √2 est irrationnel et vérifie pourtant x² − 2 = 0. Savoir que π est irrationnel ne suffit donc pas à résoudre la quadrature ; il faut démontrer qu'il est transcendant.
Les nombres algébriques forment un corps : la somme, le produit, le quotient de deux nombres algébriques reste algébrique. i est algébrique (racine de x² + 1).
Les nombres algébriques sont dénombrables (on peut les énumérer) tandis que les transcendants sont non dénombrables — ils sont donc « beaucoup plus nombreux ». En mesure de Lebesgue, les algébriques forment un ensemble de mesure nulle.
Si α est algébrique non nul, alors eα est transcendant.
Exemple : avec α = 1, on obtient que e (nombre d'Euler) est transcendant. Ce résultat, aujourd'hui présenté comme un cas du théorème de Lindemann–Weierstrass, est la clé qui va permettre d'étudier la nature de π.
Une conséquence du théorème de Wantzel (1837) est la suivante : si un nombre est constructible, alors le degré de son polynôme minimal sur ℚ est une puissance de 2. Cette condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante.
Exemples : les nombres entiers sont constructibles. ∛2 (racine cubique de 2) ne l'est pas car son polynôme minimal est x³ − 2 (degré 3, pas une puissance de 2).
Lien fondamental : un nombre transcendant n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers. Il n'est donc pas algébrique et ne peut pas être constructible. → Tout nombre transcendant est non constructible.
Il suffit donc de montrer que π est transcendant pour conclure que la quadrature du cercle est impossible.
Déplacez le curseur d'angle pour observer comment le nombre complexe $e^{i\theta}$ évolue sur le cercle unité dans le plan complexe. À $180^\circ$ ($\pi$ rad), le point atteint $-1$.
Si √π était constructible, son carré π le serait aussi. Or π est transcendant, donc non constructible. → La quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas.
Ce résultat a été démontré en 1882 par Lindemann en prolongeant les travaux de Hermite, soit 45 ans après le théorème de Wantzel (1837).
« Un problème vieux de plus de 2000 ans trouve enfin sa solution — négative — grâce à des outils d'algèbre moderne développés au XIXe siècle. »
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens cherchent non seulement à résoudre des problèmes, mais aussi à savoir si certaines constructions sont réellement possibles. Trois questions sont devenues les grands problèmes classiques de la géométrie grecque :
La duplication du cube est également appelée problème de Délos. Anaxagore n'a pas posé les trois problèmes : il est seulement le premier Grec connu à avoir étudié la quadrature du cercle. Je vais justement m'intéresser à cette dernière question et répondre à la problématique suivante : comment les nombres transcendants ont-ils permis de résoudre, par une preuve d'impossibilité, le problème millénaire de la quadrature du cercle ?
Dans sa formulation classique, une construction doit être réalisée en un nombre fini d'étapes, uniquement avec une règle non graduée et un compas. La règle permet de tracer la droite passant par deux points, mais elle ne permet pas de mesurer. Le compas permet de tracer un cercle dont on connaît le centre et le rayon. Cette contrainte est essentielle : avec d'autres instruments ou avec des approximations, on peut produire des solutions, mais elles ne répondent plus exactement au problème.
Prenons maintenant un cercle de rayon r. Son aire vaut πr². Si un carré possède la même aire et si son côté mesure c, alors c² = πr², donc c = √π · r. Pour un cercle de rayon 1, toute la question revient donc à savoir si la longueur √π est constructible à la règle et au compas.
Les civilisations anciennes savaient déjà obtenir de bonnes approximations. Le papyrus égyptien Rhind propose, pour calculer l'aire d'un disque, de prendre les huit neuvièmes de son diamètre puis d'élever le résultat au carré. Cette méthode revient à utiliser π ≈ (16/9)² = 256/81 ≈ 3,16. L'erreur est inférieure à 1 %, ce qui est remarquable, mais une approximation, même excellente, ne démontre pas qu'une construction exacte existe.
Pour passer des approximations à une preuve, il faut introduire deux catégories de nombres. Un nombre algébrique est une racine d'au moins un polynôme non nul à coefficients entiers. Par exemple, √2 est algébrique parce qu'il vérifie x² − 2 = 0. Le nombre i est lui aussi algébrique puisqu'il vérifie x² + 1 = 0.
À l'inverse, un nombre transcendant n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Cette définition est beaucoup plus exigeante : pour prouver qu'un nombre est transcendant, il ne suffit pas de tester quelques équations, il faut montrer qu'aucune équation polynomiale de ce type ne peut fonctionner. Les exemples les plus connus sont e et π.
Il faut bien distinguer irrationnel et transcendant. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire comme un quotient d'entiers, mais il peut malgré tout être algébrique. Par exemple, √2 est irrationnel tout en étant racine de x² − 2. Lambert avait démontré l'irrationalité de π au XVIIIe siècle, mais cela ne suffisait pas pour conclure sur la quadrature. Il fallait le résultat beaucoup plus fort de sa transcendance.
On sait par ailleurs que les nombres algébriques sont dénombrables, alors que l'ensemble des réels ne l'est pas. En ce sens, presque tous les nombres réels sont transcendants. Pourtant, donner des exemples précis et prouver leur transcendance reste difficile : cela explique l'importance du résultat obtenu pour π.
Les nombres algébriques ont une propriété utile : ils forment un corps. Cela signifie notamment que la somme et le produit de deux nombres algébriques restent algébriques, tout comme leur quotient lorsque le dénominateur n'est pas nul. Cette propriété interviendra dans la preuve concernant π.
Il faut ensuite relier ces catégories à la géométrie. Une longueur est dite constructible si elle peut être obtenue, à partir d'une longueur unité, par une suite finie de constructions à la règle et au compas. Ces instruments permettent essentiellement d'effectuer les quatre opérations arithmétiques et d'extraire des racines carrées.
Le théorème de Wantzel, établi en 1837, décrit ce cadre à l'aide d'extensions quadratiques. Une conséquence importante est la suivante : si un nombre est constructible, alors le degré de son polynôme minimal sur ℚ est une puissance de 2. Cette condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante à elle seule.
On peut tout de même l'utiliser pour expliquer la duplication du cube. Doubler le volume d'un cube unité demande de construire ∛2. Or son polynôme minimal est x³ − 2, de degré 3, qui n'est pas une puissance de 2. La longueur ∛2 n'est donc pas constructible. Pour la quadrature du cercle, le raisonnement sera encore plus fort : un nombre transcendant n'étant même pas algébrique, il ne peut pas être constructible.
Il reste donc à établir la nature de π. En 1882, Ferdinand von Lindemann prolonge les travaux de Charles Hermite et démontre le résultat suivant : si α est un nombre algébrique non nul, alors eα est transcendant. Ce résultat est aujourd'hui souvent présenté comme un cas du théorème de Lindemann–Weierstrass. En choisissant α = 1, on retrouve par exemple que e est transcendant.
Ce théorème permet de démontrer la transcendance de π par l'absurde :
Nous obtenons une contradiction : eiπ ne peut pas être à la fois transcendant et algébrique. L'hypothèse de départ est donc fausse. Ainsi, π est transcendant.
Revenons enfin à notre carré. Si √π était constructible, alors son carré π le serait aussi, puisque le produit de deux longueurs constructibles est constructible. Mais π est transcendant, donc il n'est pas constructible. Par conséquent, √π ne peut pas être constructible et la quadrature exacte du cercle est impossible à la règle et au compas.
Cette conclusion est intéressante parce qu'elle ne donne pas une construction : elle démontre qu'aucune construction respectant les règles ne pourra jamais exister. Un problème étudié pendant plus de deux millénaires a donc été résolu négativement grâce à des outils algébriques apparus au XIXe siècle. Wantzel avait établi le lien entre constructions et nombres algébriques en 1837 ; Lindemann a prouvé la transcendance de π en 1882, soit 45 ans plus tard.
Pour conclure, les nombres transcendants ont permis de transformer une question géométrique en une question sur la nature des nombres. La chaîne logique est la suivante : pour quadraturer le cercle, il faudrait construire √π ; si √π était constructible, π le serait ; or π est transcendant, donc non constructible ; la quadrature est donc impossible. Cela montre qu'en mathématiques, résoudre un problème peut aussi consister à prouver rigoureusement qu'il n'a pas de solution dans le cadre imposé.
Repères : Wantzel, 1837 · Lindemann, 1882 · Papyrus Rhind · formule d'Euler